Pochi punti tracciati su una superficie bianca possono trasformarsi in uno dei rompicapi geometrici più difficili dell’epoca moderna. Il concetto è semplice: si distribuiscono diversi punti su un piano e si verifica quante coppie mantengono esattamente la medesima separazione, diciamo di valore 1. Apparentemente si tratta di un banale esercizio scolastico. In realtà rappresenta un quesito che da quasi otto decenni spinge gli studiosi a rivedere calcoli, configurazioni, ipotesi e ragionamenti.
Ora OpenAI è entrata in scena. La società ha dichiarato che un suo sistema di ragionamento interno ha confutato un’ipotesi collegata al quesito delle separazioni unitarie sul piano, proposto da Paul Erdős nel 1946. La questione va affrontata con estrema precisione: il quesito generale rimane irrisolto. Ciò che viene meno è un’ipotesi cruciale sulla velocità con cui può aumentare il numero massimo di coppie equidistanti. OpenAI afferma che il sistema ha individuato una nuova classe infinita di disposizioni in grado di superare quello che per decenni era apparso come il confine naturale delle configurazioni basate su reticoli quadrati. La dimostrazione, stando a quanto comunicato dall’azienda, è stata esaminata da esperti indipendenti.
I punti di Erdős
Paul Erdős era tra quegli studiosi capaci di seminare quesiti ovunque, come tracce geniali. Alcuni facili da descrivere, estremamente complessi da risolvere. Il quesito delle separazioni unitarie rientra in questa tipologia: dato un gruppo di n punti sul piano, quante coppie possono essere separate esattamente da distanza 1?
Una sequenza lineare produce una crescita quasi elementare. Un reticolo quadrato funziona meglio. Per lungo tempo l’approccio prevalente è stato questo: i reticoli, o strutture analoghe, rappresentavano sostanzialmente l’optimum raggiungibile. Erdős aveva ipotizzato che il numero massimo di coppie equidistanti aumentasse solo marginalmente più velocemente rispetto alla quantità di punti, con una formula espressa tecnicamente come n¹⁺ᵒ⁽¹⁾, dove quel piccolo addendo tende a svanire quando n diventa estremamente elevato.
Il sistema di OpenAI ha scoperto un approccio alternativo. Per infiniti valori di n, la nuova configurazione genera almeno n¹⁺δ coppie a distanza 1, con δ positivo. Semplificando: il numero di connessioni possibili tra i punti aumenta in maniera più consistente di quanto suggerito dall’ipotesi. La vecchia concezione del “appena superiore al lineare” viene superata.
Qui emerge l’aspetto più affascinante, anche per chi della matematica avanzata conserva solo ricordi scolastici difficili. La risoluzione utilizza strumenti molto distanti dall’immagine del foglio con i puntini. OpenAI menziona teoria algebrica dei numeri, campi numerici, torri di classi e teoria di Golod-Shafarevich. Terminologia specialistica, certamente. Tuttavia il concetto è abbastanza comprensibile: per rispondere a un quesito geometrico molto concreto, il sistema è andato a recuperare strumenti da una zona profonda dell’algebra, dove si analizzano estensioni degli interi e architetture numeriche molto più elaborate dei numeri quotidiani.
La verifica umana
L’elemento determinante, per evitare il consueto sensazionalismo da “l’intelligenza artificiale ha rivoluzionato la matematica”, risiede nel controllo. Su arXiv è apparso uno studio firmato da matematici di spicco, tra cui Noga Alon, Thomas F. Bloom, W. T. Gowers, Daniel Litt, Will Sawin, Arul Shankar, Jacob Tsimerman, Victor Wang e Melanie Matchett Wood. Il documento presenta una versione condensata, assimilata e controllata da ricercatori umani del controesempio prodotto da OpenAI. Gli autori chiariscono anche che l’argomentazione utilizza concetti già disponibili, almeno retrospettivamente, nei lavori di Ellenberg-Venkatesh, Golod-Shafarevich e Hajir-Maire-Ramakrishna.
Questo passaggio ha un’importanza fondamentale. L’intelligenza artificiale ha indicato un percorso, ha elaborato una dimostrazione, ha connesso strumenti che numerosi matematici avrebbero potuto ritenere marginali rispetto al quesito. Successivamente sono intervenuti gli esseri umani: hanno esaminato, verificato, semplificato, riorganizzato, riposizionato la scoperta all’interno del panorama della ricerca. La matematica opera così. Una dimostrazione acquista validità quando supera il controllo, quando altre intelligenze possono esaminarla senza che crolli.
Nelle considerazioni pubblicate insieme allo studio, emerge anche un elemento quasi comportamentale. Il sistema avrebbe insistito molto nel tentativo di elaborare un controesempio, mentre gran parte della comunità propendeva per credere vera l’ipotesi. In sostanza, ha cercato una falla dove molti avrebbero continuato a consolidare la struttura. Questo non trasforma l’IA in una mente prodigiosa. Rende interessante il suo metodo di esplorare spazi vastissimi di possibilità, inclusi quelli che un ricercatore umano può eliminare rapidamente per esperienza, consuetudine o intuizione.
Il quesito rimane aperto
Un altro studioso, Will Sawin, ha già prodotto un perfezionamento del risultato. Nel suo lavoro dimostra che esistono insiemi di n punti nel piano, con n arbitrariamente grande, che contengono oltre n¹·⁰¹⁴ coppie di punti separate esattamente da distanza 1. Questo rende esplicito l’esponente positivo che nella dimostrazione originaria di OpenAI era presente senza un valore numerico definito.
La sfida, tuttavia, continua. Il miglior limite superiore conosciuto rimane notevolmente più elevato: in termini tecnici, dell’ordine di n⁴ᐟ³, secondo il risultato classico di Spencer, Szemerédi e Trotter. Tra il nuovo limite inferiore e quello superiore permane uno spazio considerevole, ricco di matematica ancora da sviluppare.
La scoperta di OpenAI, dunque, ha valore per ciò che inaugura. Dimostra che una convinzione rimasta solida per decenni può essere scardinata da una configurazione inaspettata. Dimostra che un sistema di intelligenza artificiale può contribuire alla ricerca teorica con qualcosa di più sostanziale di una sintesi o di un supporto alla redazione. E dimostra anche il contrario della narrazione più superficiale: senza matematici capaci di verificare, interpretare e perfezionare il risultato, quella dimostrazione rimarrebbe un dispositivo acceso in uno spazio isolato.
Per il momento resta l’immagine più elementare: punti su un foglio, connessioni invisibili tra coppie equidistanti, un reticolo che sembrava sufficiente e poi cessa di esserlo. La matematica talvolta opera così. Appare immobile su una pagina da ottant’anni, poi qualcuno modifica un punto. Stavolta lo ha fatto una macchina. Gli umani hanno esaminato il tracciato.
Fonte: OpenAI