Matematici risolvono un enigma centenario: la complessa pianificazione delle feste ora ha una soluzione

Entra nel nuovo canale WhatsApp di NextMe.it Teoria di Ramsey

Nel mondo della matematica combinatoria, recentemente è stata fatta una scoperta che ha interrotto quasi un secolo di attesa. La Teoria di Ramsey, il ramo matematico che studia come scovare sequenze ordinate all’interno del caos apparente, ha assistito a una serie di risultati sorprendenti.

Per comprendere il concetto dietro i numeri di Ramsey, possiamo pensare all’organizzazione di una festa. I matematici descrivono i numeri di Ramsey con un esempio tangibile: quante persone dobbiamo invitare per essere certi che, o un gruppo di m persone si conosca già, o un gruppo di n persone non si conosca affatto? Ad esempio, il numero R(3, 3) ci dice che se invitiamo sei persone, possiamo essere sicuri che o tre si conosceranno tra loro o tre saranno perfetti sconosciuti.

Immaginiamo la situazione come un diagramma con punti e linee: ogni punto è un ospite, e le linee di colore diverso indicano le conoscenze e le non-conoscenze tra gli ospiti. Con cinque persone, possiamo finire senza un trio che si conosca completamente o che sia composto da estranei. Se fosse così, vedremmo un triangolo tutto dello stesso colore.

Il vero enigma matematico è stato però rappresentato dal numero R(4,t), che indica il numero minimo di invitati necessario per assicurare che quattro di loro si conoscano, mentre un altro numero arbitrario t di loro non si conosca. Questa domanda ha rappresentato una sfida per i matematici per decenni.

R(3, 3) Teoria di Ramsey
Un modo per rappresentare R(3, 3) è immaginare che ogni vertice sia un ospite, un collegamento scuro indichi che due ospiti sono amici e un collegamento rosso unisca due sconosciuti. Con cinque ospiti, è possibile che non esista un gruppo di tre che siano tutti amici o tutti sconosciuti – in caso contrario, noteremmo un triangolo con i lati tutti dello stesso colore.

La Teoria di Ramsey svelata

Jacques Verstraete, ricercatore di combinatoria all’Università della California a San Diego e coautore della recente scoperta, ci dice che il problema è stato considerato da molti per oltre novanta anni. Ma era necessario un punto di vista originale per avanzare. L’idea innovativa è arrivata da Sam Mattheus, un geometra che ha collaborato con Verstraete. Hanno usato i grafi pseudocasuali – strumenti che sembrano casuali ma non lo sono – applicati al problema di R(4,t) e hanno trovato la soluzione nella geometria finita.

Hanno scoperto che il numero R(4,t) può essere approssimato come t elevato al cubo. Quindi, per organizzare una festa con la garanzia che quattro persone si conoscano o t persone siano sconosciute, dovremmo invitare all’incirca t al cubo persone. È importante notare che si tratta di una stima: la Teoria di Ramsey spesso presenta calcoli talmente grandi e complicati che i matematici si devono accontentare di stime anziché numeri precisi.

Verstraete sottolinea che, nonostante i grafi pseudocasuali a loro disposizione, la risoluzione del problema ha richiesto anni, pieni di ostacoli e incertezze. Questo risultato, tuttavia, è un inno alla perseveranza: un problema complesso è sinonimo di un problema che merita di essere risolto.