Tre punti di partenza completamente diversi, inseriti nella stessa funzione matematica, producono esattamente lo stesso risultato: (-1/4, 0, 0). La dimostrazione occupa poche righe, ma basta a demolire un rompicapo che resisteva dal lontano 1939. A rendere pubblica la scoperta è stato il matematico Levent Alpöge, che ne ha attribuito il merito a Claude Fable 5, il modello di intelligenza artificiale sviluppato da Anthropic.
Per 87 anni la congettura jacobiana aveva superato indenne tentativi, false dimostrazioni e numerosi calcoli rivelatisi errati. Fable 5 è riuscito a individuare un controesempio: una funzione che soddisfa tutte le condizioni richieste dalla congettura, ma che al tempo stesso genera proprio l’esito che, secondo la teoria, non sarebbe dovuto essere possibile.
Dire che l’intelligenza artificiale ha “risolto” il problema rende bene l’idea generale, ma il termine tecnicamente corretto sarebbe confutato. Per smontare una congettura, del resto, è sufficiente trovare un singolo caso che la contraddica. Fable 5 lo ha individuato nello spazio tridimensionale, invalidando di conseguenza anche le versioni relative alle dimensioni superiori. Rimane invece ancora valida, almeno per ora, la versione con due sole variabili.
Una trasformazione senza via di ritorno
Immaginiamo una funzione come una sorta di congegno matematico: accoglie uno o più numeri in ingresso, li elabora attraverso alcune operazioni e restituisce un risultato finale. Nel caso specifico della congettura jacobiana, sia gli ingressi che le uscite sono intere sequenze numeriche.
Una funzione si definisce invertibile quando, partendo dal risultato ottenuto, è possibile risalire con certezza al punto di origine. Ma se due punti di partenza differenti conducono alla medesima uscita, questa possibilità svanisce: diventa impossibile stabilire quale dei due fosse quello autentico.
Fable 5 non ne ha trovati due, bensì tre:
F(0, 0, -1/4) = F(1, -3/2, 13/2) = F(-1, 3/2, 13/2) = (-1/4, 0, 0).
Tre punti di partenza completamente distinti convergono così verso un’unica destinazione. Questo elemento basta da solo a dimostrare che la funzione non è invertibile. La vera sfida, ovviamente, consisteva nell’individuare proprio quella particolare funzione tra un numero pressoché sterminato di alternative possibili.
Le ragioni dietro la plausibilità della congettura
La congettura venne formulata nel 1939 dal matematico tedesco Ott-Heinrich Keller e riguarda le funzioni polinomiali, ossia quelle costruite attraverso somme, sottrazioni, moltiplicazioni e potenze con esponenti interi.
Per analizzare in che modo queste funzioni modificano lo spazio, i matematici fanno ricorso al determinante della matrice jacobiana. Il nome può sembrare pensato apposta per scoraggiare chiunque non possieda una laurea in matematica, ma il concetto sottostante è tutto sommato intuitivo: consente di verificare che, nell’intorno immediato di ogni punto, la trasformazione non finisca per sovrapporre posizioni diverse tra loro.
Nella funzione scoperta da Fable 5, il determinante jacobiano risulta costantemente pari a -2. Ciò significa che la trasformazione si comporta correttamente se osservata in una zona ristretta. Considerandola però nella sua interezza, si scopre che tre punti tra loro lontani finiscono nella stessa identica posizione.
Keller aveva ipotizzato che un determinante costante e diverso da zero fosse sufficiente a garantire l’invertibilità dell’intera funzione. Il controesempio dimostra invece che la verifica locale non è sufficiente: osservando ogni singolo tratto tutto sembra procedere correttamente, mentre la mappa completa rivela che più percorsi conducono verso la medesima destinazione finale.
La rilevanza della questione era tale che, nel 1998, il matematico Stephen Smale, insignito della prestigiosa Medaglia Fields, la incluse tra i grandi problemi matematici da affrontare nel nuovo millennio.
Un risultato verificabile, un processo molto meno trasparente
Alpöge ha reso pubblico il controesempio su X, permettendo così ad altri matematici di controllare autonomamente sia il valore del determinante sia la validità dei tre punti che condividono la stessa uscita. Terence Tao ha successivamente dedicato al risultato un’ampia analisi matematica, ricostruendone tra l’altro anche la struttura geometrica sottostante.
https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566
I materiali resi disponibili al pubblico permettono quindi di verificare la correttezza della formula, ma rivelano molto meno riguardo al processo che ha portato alla sua scoperta. Non sono infatti stati condivisi né la conversazione integrale con Fable 5, né i prompt utilizzati, né tantomeno il tempo effettivamente impiegato o gli eventuali strumenti di calcolo aggiuntivi impiegati durante la ricerca.
L’attribuzione della scoperta al modello di intelligenza artificiale proviene direttamente da Alpöge ed è stata successivamente ripresa nei primi lavori accademici dedicati al controesempio. In assenza di una documentazione completa del processo, tuttavia, risulta impossibile stabilire con precisione quanto sia stato effettivamente autonomo il contributo dell’AI e quanto invece sia dipeso dalla supervisione del matematico. Il risultato finale è solido, ma ciò che è accaduto dietro le quinte resta avvolto nell’incertezza.
Il caso dimostra comunque una capacità potenzialmente molto utile per la ricerca matematica: la possibilità di esplorare un numero enorme di soluzioni potenziali fino a individuare quell’oggetto raro capace di smentire una regola ritenuta fino ad allora plausibile. In questa circostanza non servivano centinaia di pagine di dimostrazione formale. Era necessaria una funzione specifica, ed è arrivata puntualmente, corredata da tre punti distinti che conducono a un’unica uscita.
La versione generale della congettura jacobiana risulta quindi falsa a partire dalla terza dimensione in poi. Il caso a due variabili, quello apparentemente più semplice ma anche il più tenace, continua invece a resistere sulla lavagna dei matematici.